3.294 \(\int \frac{\cos ^4(e+f x)}{(a+b \sec ^2(e+f x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=261 \[ \frac{\left (3 a^2-10 a b+35 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tan (e+f x)}{\sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}}\right )}{8 a^{9/2} f}+\frac{b \left (-15 a^2 b+9 a^3-145 a b^2-105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{24 a^4 f (a+b)^2 \sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}}+\frac{b \left (9 a^2-18 a b-35 b^2\right ) \tan (e+f x)}{24 a^3 f (a+b) \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )^{3/2}}+\frac{(3 a-7 b) \sin (e+f x) \cos (e+f x)}{8 a^2 f \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )^{3/2}}+\frac{\sin (e+f x) \cos ^3(e+f x)}{4 a f \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )^{3/2}} \]

[Out]

((3*a^2 - 10*a*b + 35*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(9/2)*f) + ((3*
a - 7*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])
/(4*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(9*a^2 - 18*a*b - 35*b^2)*Tan[e + f*x])/(24*a^3*(a + b)*f*(a +
b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(9*a^3 - 15*a^2*b - 145*a*b^2 - 105*b^3)*Tan[e + f*x])/(24*a^4*(a + b)^2*f*S
qrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.338383, antiderivative size = 261, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.24, Rules used = {4146, 414, 527, 12, 377, 203} \[ \frac{\left (3 a^2-10 a b+35 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tan (e+f x)}{\sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}}\right )}{8 a^{9/2} f}+\frac{b \left (-15 a^2 b+9 a^3-145 a b^2-105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{24 a^4 f (a+b)^2 \sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}}+\frac{b \left (9 a^2-18 a b-35 b^2\right ) \tan (e+f x)}{24 a^3 f (a+b) \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )^{3/2}}+\frac{(3 a-7 b) \sin (e+f x) \cos (e+f x)}{8 a^2 f \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )^{3/2}}+\frac{\sin (e+f x) \cos ^3(e+f x)}{4 a f \left (a+b \tan ^2(e+f x)+b\right )^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2),x]

[Out]

((3*a^2 - 10*a*b + 35*b^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(8*a^(9/2)*f) + ((3*
a - 7*b)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(8*a^2*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])
/(4*a*f*(a + b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(9*a^2 - 18*a*b - 35*b^2)*Tan[e + f*x])/(24*a^3*(a + b)*f*(a +
b + b*Tan[e + f*x]^2)^(3/2)) + (b*(9*a^3 - 15*a^2*b - 145*a*b^2 - 105*b^3)*Tan[e + f*x])/(24*a^4*(a + b)^2*f*S
qrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])

Rule 4146

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = Fre
eFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[(1 + ff^2*x^2)^(m/2 - 1)*ExpandToSum[a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/
2), x]^p, x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

Rule 414

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(b*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*
(c + d*x^n)^q*Simp[b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinomial
Q[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\cos ^4(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{5/2}} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1+x^2\right )^3 \left (a+b+b x^2\right )^{5/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac{\cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{4 a f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-3 a+b-6 b x^2}{\left (1+x^2\right )^2 \left (a+b+b x^2\right )^{5/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{4 a f}\\ &=\frac{(3 a-7 b) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{8 a^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{4 a f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{3 a^2+2 a b+7 b^2+4 (3 a-7 b) b x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b+b x^2\right )^{5/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{8 a^2 f}\\ &=\frac{(3 a-7 b) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{8 a^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{4 a f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{b \left (9 a^2-18 a b-35 b^2\right ) \tan (e+f x)}{24 a^3 (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{9 a^3-3 a^2 b+39 a b^2+35 b^3+2 b \left (9 a^2-18 a b-35 b^2\right ) x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{24 a^3 (a+b) f}\\ &=\frac{(3 a-7 b) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{8 a^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{4 a f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{b \left (9 a^2-18 a b-35 b^2\right ) \tan (e+f x)}{24 a^3 (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{b \left (9 a^3-15 a^2 b-145 a b^2-105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{24 a^4 (a+b)^2 f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{3 (a+b)^2 \left (3 a^2-10 a b+35 b^2\right )}{\left (1+x^2\right ) \sqrt{a+b+b x^2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{24 a^4 (a+b)^2 f}\\ &=\frac{(3 a-7 b) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{8 a^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{4 a f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{b \left (9 a^2-18 a b-35 b^2\right ) \tan (e+f x)}{24 a^3 (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{b \left (9 a^3-15 a^2 b-145 a b^2-105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{24 a^4 (a+b)^2 f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{\left (3 a^2-10 a b+35 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1+x^2\right ) \sqrt{a+b+b x^2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{8 a^4 f}\\ &=\frac{(3 a-7 b) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{8 a^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{4 a f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{b \left (9 a^2-18 a b-35 b^2\right ) \tan (e+f x)}{24 a^3 (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{b \left (9 a^3-15 a^2 b-145 a b^2-105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{24 a^4 (a+b)^2 f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{\left (3 a^2-10 a b+35 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+a x^2} \, dx,x,\frac{\tan (e+f x)}{\sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}\right )}{8 a^4 f}\\ &=\frac{\left (3 a^2-10 a b+35 b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tan (e+f x)}{\sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}\right )}{8 a^{9/2} f}+\frac{(3 a-7 b) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{8 a^2 f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{\cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{4 a f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{b \left (9 a^2-18 a b-35 b^2\right ) \tan (e+f x)}{24 a^3 (a+b) f \left (a+b+b \tan ^2(e+f x)\right )^{3/2}}+\frac{b \left (9 a^3-15 a^2 b-145 a b^2-105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{24 a^4 (a+b)^2 f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 21.0068, size = 1777, normalized size = 6.81 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]^4/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2),x]

[Out]

(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 5/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^12*Sin[e + f*x
])/(4*Sqrt[2]*f*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(5/2)*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^(5/2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 5/2
, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (5*a*AppellF1[3/2, -4, 7/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e
+ f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e
+ f*x]^2)*((15*a*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 5/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]
^9*Sin[e + f*x]^2)/(4*Sqrt[2]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^(7/2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 5/2, 3/2, Sin[e +
f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (5*a*AppellF1[3/2, -4, 7/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a +
b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) + (
3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 5/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^9)/(4*Sqrt[2]*(
a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^(5/2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 5/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a +
b)] + (5*a*AppellF1[3/2, -4, 7/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2,
-3, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) - (3*Sqrt[2]*(a + b)*AppellF1[1/2,
-4, 5/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^7*Sin[e + f*x]^2)/((a + b - a*Sin[e +
f*x]^2)^(5/2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 5/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (5*a*Appell
F1[3/2, -4, 7/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 5/2, 5/2, Sin[
e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) + (3*(a + b)*Cos[e + f*x]^8*Sin[e + f*x]*((5*a*f*App
ellF1[3/2, -4, 7/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*(a + b)) -
(8*f*AppellF1[3/2, -3, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/3))/(4
*Sqrt[2]*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^(5/2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 5/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e +
f*x]^2)/(a + b)] + (5*a*AppellF1[3/2, -4, 7/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*Ap
pellF1[3/2, -3, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) - (3*(a + b)*AppellF1[
1/2, -4, 5/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^8*Sin[e + f*x]*(2*f*(5*a*AppellF1[
3/2, -4, 7/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 5/2, 5/2, Sin[e +
f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x] + 3*(a + b)*((5*a*f*AppellF1[3/2, -4, 7/2, 5/2
, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(3*(a + b)) - (8*f*AppellF1[3/2, -3,
5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/3) + Sin[e + f*x]^2*(5*a*((21
*a*f*AppellF1[5/2, -4, 9/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(5*(a
+ b)) - (24*f*AppellF1[5/2, -3, 7/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x
])/5) - 8*(a + b)*((3*a*f*AppellF1[5/2, -3, 7/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]
*Sin[e + f*x])/(a + b) - (18*f*AppellF1[5/2, -2, 5/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e +
f*x]*Sin[e + f*x])/5))))/(4*Sqrt[2]*f*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^(5/2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 5/2, 3/2,
Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (5*a*AppellF1[3/2, -4, 7/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x
]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x
]^2)^2)))

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.93, size = 5600, normalized size = 21.5 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(f*x+e)^4/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\cos \left (f x + e\right )^{4}}{{\left (b \sec \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^4/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(cos(f*x + e)^4/(b*sec(f*x + e)^2 + a)^(5/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 18.1044, size = 2708, normalized size = 10.38 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^4/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/192*(3*(3*a^4*b^2 - 4*a^3*b^3 + 18*a^2*b^4 + 60*a*b^5 + 35*b^6 + (3*a^6 - 4*a^5*b + 18*a^4*b^2 + 60*a^3*b^
3 + 35*a^2*b^4)*cos(f*x + e)^4 + 2*(3*a^5*b - 4*a^4*b^2 + 18*a^3*b^3 + 60*a^2*b^4 + 35*a*b^5)*cos(f*x + e)^2)*
sqrt(-a)*log(128*a^4*cos(f*x + e)^8 - 256*(a^4 - a^3*b)*cos(f*x + e)^6 + 32*(5*a^4 - 14*a^3*b + 5*a^2*b^2)*cos
(f*x + e)^4 + a^4 - 28*a^3*b + 70*a^2*b^2 - 28*a*b^3 + b^4 - 32*(a^4 - 7*a^3*b + 7*a^2*b^2 - a*b^3)*cos(f*x +
e)^2 + 8*(16*a^3*cos(f*x + e)^7 - 24*(a^3 - a^2*b)*cos(f*x + e)^5 + 2*(5*a^3 - 14*a^2*b + 5*a*b^2)*cos(f*x + e
)^3 - (a^3 - 7*a^2*b + 7*a*b^2 - b^3)*cos(f*x + e))*sqrt(-a)*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)*sin(f
*x + e)) - 8*(6*(a^6 + 2*a^5*b + a^4*b^2)*cos(f*x + e)^7 + 3*(3*a^6 - a^5*b - 11*a^4*b^2 - 7*a^3*b^3)*cos(f*x
+ e)^5 + 2*(9*a^5*b - 12*a^4*b^2 - 99*a^3*b^3 - 70*a^2*b^4)*cos(f*x + e)^3 + (9*a^4*b^2 - 15*a^3*b^3 - 145*a^2
*b^4 - 105*a*b^5)*cos(f*x + e))*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e))/((a^9 + 2*a^8*b + a^
7*b^2)*f*cos(f*x + e)^4 + 2*(a^8*b + 2*a^7*b^2 + a^6*b^3)*f*cos(f*x + e)^2 + (a^7*b^2 + 2*a^6*b^3 + a^5*b^4)*f
), -1/96*(3*(3*a^4*b^2 - 4*a^3*b^3 + 18*a^2*b^4 + 60*a*b^5 + 35*b^6 + (3*a^6 - 4*a^5*b + 18*a^4*b^2 + 60*a^3*b
^3 + 35*a^2*b^4)*cos(f*x + e)^4 + 2*(3*a^5*b - 4*a^4*b^2 + 18*a^3*b^3 + 60*a^2*b^4 + 35*a*b^5)*cos(f*x + e)^2)
*sqrt(a)*arctan(1/4*(8*a^2*cos(f*x + e)^5 - 8*(a^2 - a*b)*cos(f*x + e)^3 + (a^2 - 6*a*b + b^2)*cos(f*x + e))*s
qrt(a)*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)/((2*a^3*cos(f*x + e)^4 - a^2*b + a*b^2 - (a^3 - 3*a^2*b)*co
s(f*x + e)^2)*sin(f*x + e))) - 4*(6*(a^6 + 2*a^5*b + a^4*b^2)*cos(f*x + e)^7 + 3*(3*a^6 - a^5*b - 11*a^4*b^2 -
7*a^3*b^3)*cos(f*x + e)^5 + 2*(9*a^5*b - 12*a^4*b^2 - 99*a^3*b^3 - 70*a^2*b^4)*cos(f*x + e)^3 + (9*a^4*b^2 -
15*a^3*b^3 - 145*a^2*b^4 - 105*a*b^5)*cos(f*x + e))*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e))/
((a^9 + 2*a^8*b + a^7*b^2)*f*cos(f*x + e)^4 + 2*(a^8*b + 2*a^7*b^2 + a^6*b^3)*f*cos(f*x + e)^2 + (a^7*b^2 + 2*
a^6*b^3 + a^5*b^4)*f)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)**4/(a+b*sec(f*x+e)**2)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\cos \left (f x + e\right )^{4}}{{\left (b \sec \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^4/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(cos(f*x + e)^4/(b*sec(f*x + e)^2 + a)^(5/2), x)